Question

△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，AD、BC的延长线交于F．
（1）求证：AB=BF；
（2）若AD=4，求BE的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据垂线的性质，可得∠ADB=∠FDB=90°，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；
（2）根据等腰三角形的性质的性质，可得AF的长，根据余角的性质，可得∠EBC=∠FAC，根据全等三角形的判定与性质，可得答案．

解答：（1）证明：∵BD⊥AF，
∴∠ADB=∠FDB=90°．
∵BE平分∠ABC交AC于E，
∴∠ABD=∠FBD．
在Rt△ABD和Rt△FBD中，

∠ABD=∠FBD BD=BD ∠ADB=∠FDB

，
∴Rt△ABD≌Rt△FBD（AAS）
∴AB=BF；
（2）∵AB=BF，BD⊥AF，
∴AF=2AD=8，
∵∠ACB=90°，BD⊥AF，
∴∠EBC=90°-∠F，
∠FAC=90°-∠F，
∴∠EBC=∠FAC，
在△BCE和△ACF中，

∠EBC=∠FAC BC=AC ∠BCE=∠ACF=90°

，
∴△BCE≌△ACF（ASA），
∴BE=AF=8．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．