Question

1．如图，P为边长为2的正三角形内任意一点，过P点分别作三边的垂线，垂足分别为D，E，F，则PD+PE+PF的值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 首先连接PA、PB、PC，再根据正三角形的面积的求法，求出边长为2的正三角形的面积是多少；然后判断出S_ABC=S_APB+S_APC+S_BPC=PD+PE+PF，据此求出PD+PE+PF的值为多少即可．

解答 解：如图，连接PA、PB、PC，，
∵△ABC是边长为2的正三角形，
∴△ABC的面积为：
$\frac{\sqrt{3}}{4}{×2}^{2}=\sqrt{3}$；
∵S_ABC=S_APB+S_APC+S_BPC
=$\frac{1}{2}$×2×PD+$\frac{1}{2}$×2×PF+$\frac{1}{2}$×2×PE
=PD+PE+PF
∴PD+PE+PF=$\sqrt{3}$，
即PD+PE+PF的值为$\sqrt{3}$．
故选：B．

点评 （1）此题主要考查了等边三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．②等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；③它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
（2）此题还考查了等边三角形的面积的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：边长是a的等边三角形的面积是$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²．