题目内容
19．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=a（x+3）（x-4）与x轴从左到有依次交于A，B两点，于y轴的正半轴交于点C，且AB-OC=1．（1）如图1，求a的值；
（2）如图2，点D在y轴的负半轴上，BD=5，点E在第二象限的抛物线上，其横坐标为t，设△BDE的面积为S求S与t间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）如图3，在（2）的条件下，当S=15时，将ED沿直线BE折叠，DE折叠后所在的直线交抛物线于点G，求G点的坐标．
分析 （1）可先求得A、B坐标，再结合条件可求得C点坐标，代入抛物线解析式可求得a的值；
（2）可先求得D点坐标，过E作ET⊥y轴于点T，可设出E点坐标，利用待定系数法可求得直线BE的解析式，从而可求得点F的坐标，则可求得DF，可用t表示出S；
（3）由条件可先求得E、D、F的坐标，可求得直线DE的解析式，设DE交x轴于点K，连接KF，作EM⊥y轴于点H，GM⊥EM于点M，EN∥y轴于点N，可求得K点坐标，结合条件可证明△FOK≌△EHF，从而可求得∠FEK=∠FKE=45°，可得到∠GEM=∠DEN，再利用角的正切值可得到$\frac{GM}{EM}$=$\frac{DN}{EN}$，设出G点坐标，可表示出GM和EM，代入可求得G点坐标．
解答 解：
（1）当y=0时，则有a（x+3）（x-4）=0，
解得x=-3或x=4，
∴A（-3，0），B（4，0），
∴AB=7，由AB-OC=1，
∴OC=6，
∴C（0，6），
代入抛物线解析式可得-12a=6，解得a=-$\frac{1}{2}$；
（2）如图1，过E作ET⊥y轴于点T，
∵B（4，0），
∴OB=4，
∵BD=5，
∴OD=3，
∴D（0，-3），
∵a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+3）（x-4），
设E点横坐标为t，则其纵坐标为-$\frac{1}{2}$（t+3）（t-4），
设直线BE解析式为y=kx+b，把B、E坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{kt+b=-\frac{1}{2}（t+3）（t-4）}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}（t+3）}\\{b=2（t+3）}\end{array}\right.$，
∴直线BE的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（t+3）x+2（t+3），
令x=0可得y=2（t+3），
∴F（0，2t+6），
∴DF=2t+6-（-3）=2t+9，
∴S=$\frac{1}{2}$（2t+9）（4-t）=-t2-$\frac{1}{2}$t+18，
∵E点在第二象限，
∴t的取值范围为-3≤t≤0；
（3）由-t2-$\frac{1}{2}$t+18=15可解得t=$\frac{3}{2}$（舍去）或t=-2，
∴E（-2，3），F（0，2），
设直线DE的解析式为y=sx+t，把D、E坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{-2t+s=3}\\{s=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{t=-3}\\{s=-3}\end{array}\right.$，
∴直线DE的解析式为y=-3x-3，
如图2，设DE交x轴于点K，连接KF，作EM⊥y轴于点H，GM⊥EM于点M，EN∥y轴于点N，
则K（-1，0），
∴EH=2=OF，HF=OK=1，且∠FOK=∠EHF=90°，
在△FOK和△EHF中
$\left\{\begin{array}{l}{OF=EH}\\{∠FOK=∠EHF}\\{OK=HF}\end{array}\right.$
∴△FOK≌△EHF（SAS），
∴EF=KF，∠EFH=∠FKO，
∵∠FKO+∠KFO=∠EFH+∠KFO=90°，
∴∠EFK=90°，
∴∠FEK=∠FKE=45°，
∴∠GED=90°，
∵∠MEN=90°，
∴∠GEM+∠MED=∠DEN+∠MED，
∴∠GEM=∠DEN，
∴tan∠GEM=tan∠DEN，
∴$\frac{GM}{EM}$=$\frac{DN}{EN}$，
设G点坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m2+$\frac{1}{2}$m+6），
则M（m，3），N（-2，-3），
∴GM=-$\frac{1}{2}$m2+$\frac{1}{2}$m+6-3=-$\frac{1}{2}$m2+$\frac{1}{2}$m+3，EM=m+2，DN=2，EN=6，
∴$\frac{-\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{1}{2}m+3}{m+2}$=$\frac{2}{6}$，解得m=-2（舍去）或m=$\frac{7}{3}$，
∴G点坐标为（$\frac{7}{3}$，$\frac{40}{9}$）．
点评 本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、勾股定理、函数图象与坐标轴的交点、全等三角形的判定和性质、三角函数的定义等．在（1）中求得C点坐标是解题的关键，在（2）中用t表示出F点的坐标是解题的关键，在（3）中证得∠GEM=∠DEN是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
如图，扇形OAB上有一动点P，P从点A出发，沿$\widehat{AB}$、线段BO、线段OA匀速运动到点A，则OP的长度y与运动时间t之间的函数图象大致是 （ ）
| 测验 类别 | 平时测验 | 期中 测验 | 期末 测验 | |||
| 第1次 | 第2此 | 第3次 | 第4次 | |||
| 成绩 | 80 | 86 | 84 | 90 | 90 | 95 |
（2）求小明本学期的数学平时测验的平均成绩；
（3）如果本学期的总评成绩是将平时测验的平均成绩、期中测验成绩、期末测验成绩按照3：3：4的比例计算所得，计算小明本学期学科的总评成绩．
一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1，出租车离甲地的距离为y2，客车行驶时间为x，若y1，y2与x的函数关系图象如图所示，下列四种说法：