Question

3．观察下列等式：
1³=1²
1³+2³=3²
1³+2³+3³=6²
1³+2³+3³+4³=10²…
（1）根据观察得到规律写出：1³+2³+3³+4³+5³═225．
（2）根据观察得到规律写出1³+2³+3³+4³+…+100³=5050²．
（3）1³+2³+3³+4³+5³+…+n³=[$\frac{n（1+n）}{2}$]²．

Answer 1

分析 （1）观察数字规律可知，结果为一个完全平方数，其底数为1+2+3+4+5；
（2）观察数字规律可知，结果为一个完全平方数，其底数为1+2+3+…+100；
（3）从1开始，连续n个正整数的立方和，等于这n个正整数和的平方．

解答 解：（1）依题意，得1³+2³+3³+4³+5³=（1+2+3+4+5）²=15²=225；

（2）依题意，得1³+2³+3³+…+100³=（1+2+3+…+100）²=[$\frac{100（1+100）}{2}$]²=5050²；

（3）一般规律为：1³+2³+3³+…+n³=（1+2+3+…+n）²=[$\frac{n（1+n）}{2}$]²．
故答案为225；5050²；[$\frac{n（1+n）}{2}$]²．

点评 本题是对数字变化规律的考查，观察出从1开始的连续正整数的立方和等于这些数的和的平方是解题的关键．