如图 1.在平面直角坐标系中.点 M 的坐标为(3.0).以 M 为圆心.5 为半径的圆与坐标轴分别交于点 A.B.C.D．(1)求证:△AOD∽△COB,(2)如图 2.弦DE交x轴于点P.若BP:DP=3:2.求tan∠EDA的值,(3)如图 3.过点D作圆M的切线.交x轴于点Q.点G是圆M上的一个动点.问$\frac{GO}{GQ}$的比值是否随着G的移动而变化?若不变.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．如图 1，在平面直角坐标系中，点 M 的坐标为（3，0），以 M 为圆心，5 为半径的圆与坐标轴分别交于点 A，B，C，D．
（1）求证：△AOD∽△COB；
（2）如图 2，弦DE交x轴于点P，若BP：DP=3：2，求tan∠EDA的值；
（3）如图 3，过点D作圆M的切线，交x轴于点Q，点G是圆M上的一个动点，问$\frac{GO}{GQ}$的比值是否随着G的移动而变化？若不变，请求出此值，若变化请说明理由．

分析（1）如图1，根据对顶角相等得到∠AOD=∠COB，根据圆周角定理得到∠ADO=∠OBC，则可判断△AOD∽△COB；
（2）连结AE、BE、MD，如图2，先计算出OD=2，再利用勾股定理计算出OD=4，AD=2$\sqrt{5}$，接着证明△PBE∽△PDA，利用相似比可计算出BE=3$\sqrt{5}$，然后根据勾股可计算出AE=$\sqrt{55}$，再利用正切的定义得到tan∠ABE=$\frac{\sqrt{11}}{3}$，于是得到tan∠EDA=$\frac{\sqrt{11}}{3}$；
（3）如图3，连结MD、MG，根据切线的性质得∠MDQ=90°，由∠ODM=∠OQD，则可判断Rt△ODM∽Rt△OQD，利用相似比可计算出OQ=$\frac{16}{3}$，
讨论：当G点与A点重合时，易得$\frac{OG}{QG}=\frac{OA}{AQ}=\frac{3}{5}$；当G点与B点重合时，$\frac{OG}{QG}=\frac{3}{5}$；
当G点不与A、B重合时，先证明△MOD∽△MDQ得到即MD²=MO•MQ，由于MD=MG，则MG²=MO•MQ，加上∠OMG=∠GMQ，则可判断△MOG∽△MGQ，利用相似比可得$\frac{OG}{QG}=\frac{OM}{MG}=\frac{3}{5}$，于是得到$\frac{GO}{GQ}$的值不变，比值$\frac{3}{5}$．

解答（1）证明：如图1，
∵∠AOD=∠COB，∠ADO=∠OBC，
∴△AOD∽△COB；
（2）解：连结AE、BE、MD，如图2，
∵点M的坐标为（3，0），MA=MB=MD=5，
∴OD=2，
在Rt△ODM中，OD=$\sqrt{M{D}^{2}-O{M}^{2}}$=4，
在Rt△OAD中，AD=$\sqrt{O{A}^{2}+O{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠PEB=∠PAD，∠PBE=∠PDA，
∴△PBE∽△PDA，
∴$\frac{BE}{AD}=\frac{PB}{PD}=\frac{3}{2}$，
∴BE=$\frac{3}{2}$×2$\sqrt{5}$=3$\sqrt{5}$，
在Rt△ABE中，
AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{55}$，
∴tan∠ABE=$\frac{AE}{BE}=\frac{\sqrt{55}}{3\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{11}}{3}$，
∵∠EDA=∠ABE，
∴tan∠EDA=$\frac{\sqrt{11}}{3}$；
（3）解：$\frac{GO}{QG}$的值不变，比值$\frac{3}{5}$，
理由如下：如图3，连结MD、MG，
∵DQ为切线，
∴MD⊥QD，
∴∠MDQ=90°，
∵∠ODM=∠OQD，
∴Rt△ODM∽Rt△OQD，
∴OD：OQ=OM：OD，即4：OQ=3：4，
∴OQ=$\frac{16}{3}$，
当G点与A点重合时，$\frac{OG}{QG}=\frac{OA}{AQ}=\frac{2}{\frac{16}{3}-2}$=$\frac{3}{5}$；
当G点与B点重合时，$\frac{OG}{QG}=\frac{OB}{BQ}=\frac{3}{5}$；
当G点不与A、B重合时，
∵∠OMD=∠DMQ，
∴△MOD∽△MDQ，
∴$\frac{MO}{MD}=\frac{MD}{MQ}$，即MD²=MO•MQ，
而MD=MG，
∴MG²=MO•MQ，
∵∠OMG=∠GMQ，
∴△MOG∽△MGQ，
∴$\frac{OG}{QG}=\frac{OM}{MG}=\frac{3}{5}$，
综上所述，$\frac{GO}{QG}$的值不变，比值$\frac{3}{5}$，