Question

3．已知如图，AC是⊙O的直径，PA、PB分别切⊙O于A、B，连接BA、BC，OQ⊥PQ于Q，OQ交AB于M．
（1）求证：∠C=90°-$\frac{1}{2}$∠APB
（2）若OM=1，OQ=4，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）连接OB，根据切线的性质得到∠PAO=∠PBO=90°，根据圆周角定理即可得到结论；
（2）连接OP交AB于G，根据切线的性质得到PA=PB，∠APO=∠BPO，根据等腰三角形的性质得到OP⊥AB，根据相似三角形的性质得到OP•OG=OM•OQ=4，AO²=OP•OM=4，于是得到结论．

解答 解：（1）连接OB，∵PA、PB分别切⊙O于A、B，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴∠APB+∠AOB=180°，
∵∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB，
∴∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠APB）=90°-$\frac{1}{2}$∠APB；

（2）连接OP交AB于G，
∵PA、PB分别切⊙O于A、B，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO，
∴OP⊥AB，
∵OQ⊥PQ于Q，
∴∠OGM=∠Q=90°，
∵∠GOM=∠GOM，
∴△OGM∽△OQP，
∴$\frac{OM}{OP}=\frac{OG}{OQ}$，
∴OP•OG=OM•OQ=4，
∵∠OAP=∠AGM=90°，∠AOG=∠AOP，
∴△AOM∽△AOP，
∴$\frac{AO}{OP}=\frac{OM}{AO}$，
∴AO²=OP•OM=4，
∴AO=2，
∴AC=2AO=4．

点评 本题考查了切线的性质，勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．