Question

3．如图所示，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6．求BC²．

Answer 1

分析 延长AD至E，使ED=AD，连接BE，由中线的定义得出BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，由SAS证明△BDE≌△CDA，得出对应边相等BE=AC=13，由勾股定理的逆定理证出∠BAD=90°，由勾股定理求出BD²，BC²=（2BD）²=4BD²，即可得出结果．

解答 解：延长AD至E，使ED=AD，连接BE，如图所示：
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，
在△BDE和△CDA中，$\left\{\begin{array}{l}{ED=AD}&{\;}\\{∠BDE=∠CDA}&{\;}\\{BD=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE=AC=13，
∵5²+12²=13²，
∴AB²+AE²=BE²，
∴∠BAD=90°，
∴BD²=AB²+AD²=5²+6²=61，
∴BC²=（2BD）²=4BD²=4×61=244．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、勾股定理；通过作辅助线构造三角形全等得出对应边相等证出直角三角形是解决问题的关键