Question

10．如图，在一张长为5，宽为4的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为3的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为$\frac{9}{2}$或2$\sqrt{2}$或$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分（1）腰长在矩形相邻的两边上，（2）一腰在矩形的宽上，（3）一腰在矩形的长上，三种情况讨论．（1）△AEF为等腰直角三角形，直接利用面积公式求解即可；（2）先利用勾股定理求出AE边上的高BF，再代入面积公式求解；（3）先求出AE边上的高DF，再代入面积公式求解．

解答 解：分三种情况计算：
（1）当AE=AF=3时，如图：

∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$AE•AF=$\frac{1}{2}$×3×3=$\frac{9}{2}$；
（2）当AE=EF=3时，如图：

则BE=4-3=1，
BF=$\sqrt{E{F}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$•AE•BF=$\frac{1}{2}$×3×2$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$；
（3）当AE=EF=3时，如图：

则DE=5-3=2，
DF=$\sqrt{E{F}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$AE•DF=$\frac{1}{2}×$3×$\sqrt{5}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$，
故答案为：$\frac{9}{2}$或3$\sqrt{2}$或$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用，要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论，有一定的难度．