Question

17．两个不全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A=60°，AC=1．固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：
（1）如图（1），△DEF沿线段AB向右平移（D点在线段AB内移动），连接DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积；
（2）如图（2），当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点C作CG⊥AE，垂足是点G，易证四边形CDBF是梯形，在直角△ACG中利用三角形的性质求得CG，然后利用梯形的面积公式求解；
（2）首先证明四边形CDBF是平行四边形，然后根据菱形的定义即可证得四边形CDBF是菱形．

解答 解：（1）过点C作CG⊥AE，垂足是点G．
由题可知，CF∥AE，CF=AD=BE，
则四边形CDBF是梯形．
∵在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=1，
∴AB=2，
在直角△ACG中，∠CGA=90°，∠A=60°，AC=1，
∴∠ACG=30°，AG=$\frac{1}{2}$，
∴CG=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴S_梯形CDBF=$\frac{1}{2}$（CE+DB）•CG=$\frac{1}{2}$（AD+DB）•CG=$\frac{1}{2}$AB•CG=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）四边形CDBF是菱形．
理由如下：∵在直角△ABC中，D是AB的中点，
∴AD=DB=CD，
由（1）CF=AD，
∴CF=DB=CD，
又∵CF∥AE，
∴四边形CDBF是平行四边形．
∵CD=BD，
∴四边形CDBF是菱形．

点评 本题考查了梯形和菱形的判定，正确作出辅助线，证明四边形CDBF是平行四边形是关键．