Question

已知x_n，xn′是关于x的方程a_nx²-4a_nx+4a_n-n=0（a_n＞a_n+1）的两个实数根，x_n＜xn′，其中n为正整数，且a₁=1．
（1）x1′-x₁的值为

 

；
（2）当n分别取1，2，…，2013，2014时，想对应的有2014个方程，将这些方程的所有实数根从小到大的顺序排列，相邻两数的差恒为（x1′-x₁）的值，则x′₂₀₁₄-x₂₀₁₃=

 

．

Answer 1

考点：一元二次方程的应用

专题：

分析：（1）当n=1时，将a₁=1代入方程即可求出x₁′-x₁的值；
（2）表示出方程的根，根据a_n＞a_n+1，得到

1

a1

＜

2

a2

＜

3

a3

＜…＜

n

an

，当n=1，2，3，…，以及2012，2013，得到4028个公差为2的等差数列，求出所求式子即可．

解答：解：（1）当n=1时，将a₁=1代入方程得：x²-4x+3=0，
解得：x₁=1，x′₁=3，
则x′₁-x₁=2；

（2）由求根公式得：x=2±

n an

，
据a_n＞a_n+1，得到

1

a1

＜

2

a2

＜

3

a3

＜…＜

n

an

，
当n=1时，x₁=1，x′₁=3；
当n=2时，x₂＜x₁，x′₂＞x′₁，
当n=3时，x₃＜x₂，x′₃＞x′₂，
依此类推，
当n=2013时，x₂₀₁₃＜x₂₀₁₂，x′₂₀₁₃＞x′₂₀₁₂，
当n=2014时，x₂₀₁₄＜x₂₀₁₃，x′₂₀₁₄＞x′₂₀₁₃，
∴根由小到大排列为：x₂₀₁₄，x₂₀₁₃，…，x₁，x′₁，…，x′₂₀₁₄，共4028项，
∵等差且d=2，
∴x′₂₀₁₄-x₂₀₁₃=（4028-2）×2=8052．
故答案为：2；8052．

点评：此题考查了一元二次方程的应用，有一定难度，找出题中根的规律是解本题的关键．