Question

在△ABC中，∠A=30°，AB=m，CD是边AB上的中线，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△ECD，若△ECD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的

1

4

，则△ABC的面积为

 

（用m的代数式表示）．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：画出符合条件的两种情况：①求出四边形A′DCB是平行四边形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面积．即可求出△ABC的面积．

解答：解：分为两种情况：①如图1，

∵AD=BD=

1

2

AB，
∴S_△ACD=S_△BCD．
∵沿CD折叠A和A′重合，
∴AD=A′D=

1

2

AB=

1

2

m，
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的

1

4

，
∴S_△DOC=

1

4

S_△ABC=

1

2

S_△BDC=

1

2

S_△ADC=

1

2

S_△A′DC，
∴DO=OB，A′O=CO，
∴四边形A′DCB是平行四边形，
∴BC=A′D=m，
过B作BM⊥AC于M，
∵AB=m，∠BAC=30°，
∴BM=

1

2

AB=

1

2

m=BC，
即C和M重合，
∴∠ACB=90°，
由勾股定理得：AC=

m2-( m 2 )2

=

3

2

m，
∴△ABC的面积是

1

2

×BC×AC=

1

2

×

1

2

m×

3

2

m=

3

8

m2；
②如图2，

∵AD=BD=

1

2

AB，
∴S_△ACD=S_△BCD．
∵沿CD折叠A和A′重合，
∴AD=A′D=

1

2

AB=

1

2

m，
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的

1

4

，
∴S_△DOC=

1

4

S_△ABC=

1

2

S_△BDC=

1

2

S_△ADC=

1

2

S_△A′DC，
∴CO=OA′，BO=DO，
∴四边形A′BDC是平行四边形，
∴A′D=BC=

m

2

，
过C作CQ⊥A′D于Q，
∵A′C=

m

2

，∠DA′C=∠BAC=30°，
∴CQ=

1

2

A′C=

m

4

，
∴S_△ABC=2S_△ADC=2S_△A′DC=2×

1

2

×A′D×CQ=2×

1

2

×

m

2

×

m

4

=

m2

8

；
即△ABC的面积是

m2

8

或

3

8

m2，
故答案为：

m2

8

或

3

8

m2．

点评：本题考查了折叠问题，折叠得到的图形是全等图形，利用平行四边形性质和判定，三角形的面积，勾股定理的应用，解这个题的关键是能根据已知题意和所学的定理进行推理．