题目内容

已知圆内接正n边形A₁，A₂，A₃…A_n-1，A_n，p是圆上异于A_n-2，A_n的弧A_n-2A₁A_n上的一点，求 $数学公式$ 的值．

解：如图，连接A_n-2A_n，过A_n-2作A_n-1M⊥A_n于M，
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，且它们的度数均为 $\text{[math]}$ ，
∴∠A_n-2A_nA_n-1= $\text{[math]}$ ，
设A_n-2A_nA_n-1=A_n-2A_nA_n=a，
∴A_nM=acos $\text{[math]}$ ，
∴A_n-2A_n=2acos $\text{[math]}$ ，
∵PA_n-2A_n-1A_n为圆内接四边形，由托勒密定理（圆内接四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积）得：
PA_n-2A_n-1A_n+PA_nA_n-2A_n-1=PA_n-1A_n-2A_n，即a（PA_n-2+PA_n）=PA_n-1•2cos $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =2cos $\text{[math]}$ ．
故答案为：2cos $\text{[math]}$ ．
分析：连接A_n-2A_n，过A_n-2作A_n-1M⊥A_n于M，再由圆心角、弧、弦的关系可求出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 的度数，
设A_n-2A_nA_n-1=A_n-2A_nA_n=a，由锐角三角函数的定义可求出A_nM及A_n-2A_n的值，最后由托勒密定理求解即可．
点评：本题考查的是正多边形和圆、托勒密定理及锐角三角函数的定义，熟知托勒密定理是解答此题的关键．