Question

如图：?OBCD中，∠DOB=60°，OD=2，以OD为直径的⊙P经过点B，点N为BC边上任意一点（与点B、C不重合），过N作直线MN⊥x轴，垂足为A，交DC边于M．设OA=t，△OMN的面积为s．
（1）求点D的坐标；
（2）求s与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）当s为时，直线MN与⊙P是什么位置关系．

Answer 1

解：如下图所示：连接DB，BP

（1）由于⊙OP过点B，OD是圆的直径，所以∠DBO=90°
在Rt△OBD中，OB=OD×cos∠DOB=2×=1；DB=OD×sin∠DOB=2×=
所以点D的坐标为：D（1，）；

（2）由于ODBC是平行四边形，且MN⊥x轴于A
所以AM=BD=，∠CBA=∠DOB=60°
在Rt△BAN中，AN=tan∠CBA×BA=（t-1）
所以MN=AM-AN=（2-t）
即：△OMN的面积为s=×MN×OA=×（2-t）t=t（2-t）
又∵点N为BC边上任意一点与点B、C不重合
∴t的取值范围为：1＜t＜2；

（3）当s=t（2-t）=时，又1＜t＜2，所以t=
圆心P到MN的距离等于（DM+OA）=×（-1+）=1=OD
所以此时直线MN与⊙P相切．
分析：利用圆内接三角形的性质得出∠DBO=90°，从而求出D的坐标；运用圆与直线的线切知识求出直线MN与⊙P的关系．
点评：本题考查圆内接三角形的性质和直线与圆相切的知识．