Question

8．如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E，F分别在边AB，CD上，使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP．
（1）如图②，若M为AD边的中点，
①△AEM的周长=6cm；
②求证：EP=AE+DP；
（2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合），△PDM的周长是否发生变化？若不发生变化，直接写出△PDM的周长，若发生变化，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①由折叠知BE=EM．AE+EM+AM=AE+EB+AM=AB+AM．根据边长及中点易求周长；
②延长EM交CD延长线于Q点．可证△AEM≌△DQM，得AE=DQ，EM=MQ．所以PM垂直平分EQ，得EP=PQ，得证；
（2）不变化．可证△AEM∽△DMP，两个三角形的周长的比是AE：MD，设AM=x，根据勾股定理可以用x表示出MD的长与△MAE的周长，根据周长的比等于相似比，即可求解．

解答 （1）①解：由折叠知BE=EM，∠B=∠EMP=90°，
△AEM的周长=AE+EM+AM=AE+EB+AM=AB+AM．
∵AB=4，M是AD中点，
∴△AEM的周长=4+2=6（cm）；
故答案为6．

②证明：如图②中，延长EM交CD延长线于Q点．

∵∠A=∠MDQ=90°，AM=DM，∠AME=∠DMQ，
∴△AME≌△DMQ．
∴AE=DQ，EM=MQ．
又∵∠EMP=∠B=90°，
∴PM垂直平分EQ，有EP=PQ．
∵PQ=PD+DQ，
∴EP=AE+PD．

（2）解：△PDM的周长保持不变．理由如下：如图①中，

设AM=x，则MD=4-x．
由折叠性质可知，EM=4-AE，
在Rt△AEM中，AE²+AM²=EM²，即AE²+x²=（4-AE）²，
整理得：AE²+x²=16-8AE+AE²，
∴AE=$\frac{1}{8}$（16-x²），
又∵∠EMP=90°，
∴∠AME+∠DMP=90°．
∵∠AME+∠AEM=90°，
∴∠AEM=∠DMP．
又∵∠A=∠D，
∴△PDM∽△MAE．
∴$\frac{{C}_{△PDM}}{{C}_{△MAE}}$=$\frac{MD}{AE}$，
∴C_△PDM=C_△MAE•$\frac{MD}{AE}$=（4+x）•$\frac{4-x}{\frac{1}{8}（16-{x}^{2}）}$=8．
∴△PDM的周长保持不变．

点评 本题考查四边形综合题、翻折变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．