Question

3．如图，已知点D在⊙O的直径AB延长线上，点C为⊙O上，过D作ED⊥AD，与AC的延长线相交于E，且CD=DE．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若AB=12，且BC=CE时，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）连结0C，由AB为直径，得到∠ACB=90°，求得∠E=∠ABC，根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠OCB，等量代换得到∠E=∠OCB，推出OC⊥CD，于是得到结论；
（2）连接OC，由（1）得出的∠BCD=∠A，易知：∠OBC=∠CDE，因此等腰△OBC和等腰△DCE相似；由于题中告诉了BC=CE，可得到的条件是△OBC≌△DCE；因此OC=CD=6；在等腰Rt△OCD中，已知了直角边的长，即可求出斜边OD的长，进而可求出BD的长．

解答 （1）证明：连结0C，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ECD=90°，
在Rt△ADE和Rt△ABC中，∠E=90°-∠A，∠ABC=90°-∠A，
∴∠E=∠ABC，
∵OB=OC，
∴∠ABC=∠OCB，
∴∠E=∠OCB，
又∵CD=DE，
∴∠E=∠ECD，
∴∠OCB=∠ECD，
∴∠OCB+∠BCD=90°，
即OC⊥CD，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：由（1）知：∠BCD=∠A，∠ACB=∠BCE=90°，
∴∠OBC=∠DCE，
∵OB=OC，CD=DE，
∴∠OBC=∠OCB=∠DCE=∠E，
在△OBC和△DCE中$\left\{\begin{array}{l}{∠OBC=∠DCE}\\{BC=CE}\\{∠OCB=∠E}\end{array}\right.$，
∴△OBC≌△DCE（ASA），
∴OC=CD=6，
Rt△OCD中，OC=CD=6，∠OCD=90°，
∴OD=6$\sqrt{2}$，
即BD=OD-OB=6$\sqrt{2}$-6．

点评 本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．