题目内容
如图所示，AM为△ABC的中线，N在BC上，AB＞AC，AC2•BN=AB2•CN，求证：∠BAM=∠CAN．考点：相似三角形的判定与性质
专题：证明题
分析：根据AC2•BN=AB2•CN可得
=
，进而可以证明∠ANB=∠ANC=∠BAC=90°，可证∠BAM=∠CAN=∠B．
| AB |
| BC |
| BN |
| AB |
解答：证明：∵AC2•BN=AB2•CN，
∴
=
，
∴
=
∴
，
由AB2=BN•BC得：
=
，
又∵∠B=∠B
∴△ABN∽△CBA
∴∠ANB=∠BAC，同理∠ANC=∠BAC，
∴∠ANB=∠ANC=∠BAC，
∵∠ANB+∠ANC=180°
∴∠ANB=∠ANC=∠BAC=90°，
即△ABC是直角三角形，AN⊥BC，
∴∠CAN=∠B，
∴∠B=∠BAM，
∴∠BAM=∠CAN．
∴
| AB2 |
| AC2 |
| BN |
| CN |
∴
| AB2 |
| AC2 |
| BN•BC |
| CN•BC |
∴
|
由AB2=BN•BC得：
| AB |
| BC |
| BN |
| AB |
又∵∠B=∠B
∴△ABN∽△CBA
∴∠ANB=∠BAC，同理∠ANC=∠BAC，
∴∠ANB=∠ANC=∠BAC，
∵∠ANB+∠ANC=180°
∴∠ANB=∠ANC=∠BAC=90°，
即△ABC是直角三角形，AN⊥BC，
∴∠CAN=∠B，
∴∠B=∠BAM，
∴∠BAM=∠CAN．
点评：本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应角相等、对应边比例相等的性质．
练习册系列答案
口算心算速算应用题系列答案
同步拓展阅读系列答案
相关题目
如图，已知△ABC中，D、E、F分别在BC、AC、AB上，DF∥AC，EF∥BC，若△AEF和△BDF的面积分别为9和4，求四边形DFEC的面积．
如图，在等边△ABC中，D是AC上一动点（与A、C不重合），使一块三角板的60°角的顶点与点D重合，并且斜边始终经过点B，一直角边与△ABC的边BC相交于点E．
尺规作△ABC的外接圆．（请保留作图痕迹）
如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿AD对折，点C落在点C′的位置，若
如图，已知D为△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A=35°，∠D=42°．
如图，AD是△ABC一边上的高，AD=BD，BE=AC，∠C=75°，求∠ABE的度数．