Question

14．如图，等边△ABC放置在平面直角坐标系中，已知A（0，0）、B（2，0），反比例函数的图象经过点C．
（1）求点C的坐标及反比例函数的解析式．
（2）如果将等边△ABC向上平移n个单位长度，使点B恰好落在双曲线上，求n的值．

Answer 1

分析 （1）过点C作CD⊥x轴，垂足为D，如图，根据等边三角形的性质得到AC=AB=2，∠CAB=60°，AD=1，再利用三角函数可计算出CD$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，则点C坐标为（1，$\sqrt{3}$），然后利用待定系数法求反比例函数解析式；
（2）根据点平移规律得到平移后B点坐标为（2，n），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得到2n=$\sqrt{3}$，再解方程即可．

解答 解：（1）过点C作CD⊥x轴，垂足为D，如图，设反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$，
∵A（0，0）、B（2，0），
∴AB=2，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=2，∠CAB=60°，
∴AD=1，CD=ACsin60=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴点C坐标为（1，$\sqrt{3}$），
∵反比例函数的图象经过点C，
∴k=1×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴反比例函数的解析式$y=\frac{{\sqrt{3}}}{x}$； 
（2）∵将等边△ABC向上平移n个单位，则平移后B点坐标为（2，n），而平移后的点B恰好落在双曲线上，
∴2n=$\sqrt{3}$，
∴n=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式y=xk（k为常数，k≠0）；把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；解方程，求出待定系数；写出解析式．也考查了等边三角形的性质和图形的平移．