Question

5．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为$\frac{1}{2}$的矩形，接着把面积为$\frac{1}{2}$的矩形等分成两个面积为$\frac{1}{4}$的矩形，再把面积为$\frac{1}{4}$的矩形等分两个面积为$\frac{1}{8}$的矩形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算：
（1）$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{32}$+$\frac{1}{64}$+$\frac{1}{128}$+$\frac{1}{256}$；
（2）$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ．

Answer 1

分析 （1）分析图形中的数据可知：$\frac{1}{2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1-\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=1-\frac{1}{8}$，依此类推可得结论；
（2）由（1）类比，进行解答即可．

解答 解：（1）（1）分析图形中的数据可知：$\frac{1}{2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1-\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=1-\frac{1}{8}$，
依此类推可得：
$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{32}$+$\frac{1}{64}$+$\frac{1}{128}$+$\frac{1}{256}$
=1-$\frac{1}{256}$
=$\frac{255}{256}$．
（2）由（1）类比可得规律为：
$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ．=$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+$…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了根据图形探索规律问题，此题注意每次分割都是分两份，求若干个矩形的面积和也可以换个方法思考，用减法简单地计算出来．