Question

设n是一个非零自然数，那么一定存在自然数m，能使mn+1是完全平方数，这样的自然数m很多，请写出两个

n+2，4n+4，9n+6，等等

．

Answer 1

分析：由于（an+1）²=a²n²+2an+1=（a²n+2a）n+1，取不同的a值，即可得出自然数m的不同取值．

解答：解：∵（an+1）²=a²n²+2an+1=（a²n+2a）n+1，
当a=1时，a²n+2a=n+2，即自然数m可取n+2；
当a=2时，a²n+2a=4n+4，即自然数m可取4n+4；
当a=3时，a²n+2a=9n+6，即自然数m可取9n+6等．
故答案为：n+2，4n+4，9n+6，等等（答案不唯一）．

点评：本题主要考查完全平方公式，解题的关键是将mn+1写成（an+1）²的形式，求得自然数m的值．