题目内容

任何一个单位分数 $数学公式$ 都可以写成两个单位分数的和： $数学公式$ （n，p，q都是正整数）．显然，这里的p，q都大于n．如果设p=n+a，q=n+b，那么有 $数学公式$ ．
（1）探索上式中的正整数a，b与正整数n之间存在什么样的关系（写出推理过程）；
（2）请利用（1）中的结论，分别写出 $数学公式$ ， $数学公式$ 等于两个单位分数之和的所有可能情况；
（3）我国宋朝数学家杨辉早在1261年的著作--《详解九章算法》十二卷里提出了如左下图所示的“杨辉三角形”，请观察杨辉三角形的特点，由单位分数能否能垒成类似的“单位分数三角形”？如果能，试在右下图中写第二、三、四行．

解：（1）由 $\text{[math]}$ ，
可得（n+a）（n+b）=n（n+a）+n（n+b），
化简后有ab=n²，
（2）当n=2时，ab=2²=4，于是有a=1或2，b=4或2，
因此 $\text{[math]}$ ，
当n=3时，ab=3²=9，于是有a=1或3，b=9或3，
因此 $\text{[math]}$ ；
（3）

分析：（1）分式的两边都乘以n（n+a）（n+b），再整理可得ab=n²；
（2）当n=2时，可求a、b的所有可能数值，从而可求 $\text{[math]}$ 分成两个单位分数和的所有情况，同理可求 $\text{[math]}$ 分成两个分数和的所有情况；
（3）能，结合（2）中的计算，可知第二行有两个分数，且都等于 $\text{[math]}$ ，第三行有3个分数，第一个与第三个都等于 $\text{[math]}$ ，第二个等于 $\text{[math]}$ ，第四行依次是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其它行也依此类推．
点评：本题考查了分式的混合运算．解题的关键是把分式化成整式计算．

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我们把分子为1的分数叫做单位分数．如

…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如

，…
（1）根据对上述式子的观察，你会发现

请写出□，○所表示的数；
（2）进一步思考，单位分数

（n是不小于2的正整数）=

，请写出△，☆所表示的式，并加以验证．

我们把分子为1的分数叫做单位分数，如

…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如

…观察上述式子的规律：（1）把

写成两个单位分数之和；（2）把

表示成两个单位分数之和．

我们把分子为1的分数叫做单位分数，如

…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如

…观察上述式子的规律：
（1）把

写成两个单位分数之和；
（2）把

表示成两个单位分数之和（n为大于1的整数）．

我们把分子为1的分数叫做单位分数，如…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如，，…观察上述式子的规律：

1.把写成两个单位分数之和

2.把表示成两个单位分数之和(n为大于1的整数)。