Question

如图，已知A（1，0）和点B（-3，0），点C在y轴负半轴上，AC⊥BC，经过A，B，C三点的抛物线的对称轴分别交x轴、直线BC、直线AC于点F、E、M，
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）求线段EM绕点E顺时针旋转90°得到线段EM′，求sin∠FM′E的值；
（3）将线段BC绕点C旋转，与抛物线的另一交点为N，若△NCM是等腰三角形，求出点N的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据射影定理求得OC的长，进而求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得；
（2）先根据点的坐标求得直线AC、BC的解析式，然后求EM的长度，进而求得EM′=EM，G根据勾股定理求得E′F的长，最后解直角三角函数即可求得；
（3）先根据抛物线的解析式，设出N点的坐标，然后求得MN、NC、MC的平方，分三种情况分别列出等式，解这个等式即可．

解答：解：∵A（1，0）和点B（-3，0），
∴OA=1，OB=3，
∵AC⊥BC，
∴OC²=OA•OB=3，
∴OC=

3

，
∴C（0，-

3

），
设抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c，
则

a+b+c=0 9a-3b+c=0 c=- 3

，
 解得

a= 3 3 b= 2 3 3 c=- 3

，
∴抛物线的解析式为：y=

3

3

x²+

2 3

3

x-

3

；

（2）如图，∵A（1，0），B（-3，0），C（0，-

3

），
∴直线AC的解析式为：y=

3

x-

3

；直线BC的解析式为：y=-

3

3

x-

3

；
∵抛物线的对称轴x=

-3+1

2

=-1，
∴M（-1，-2

3

），E（-1，-

2 3

3

），
∴EM=

4 3

3

∵线段EM绕点E顺时针旋转90°得到线段EM′，
∴M′（-1-

4

3

3

，-

2 3

3

）
∴EM′=EM=

4 3

3

，
∵EF=

2 3

3

，
∴M′F=

2 15

3

∴sin∠FM′E=

EF

M′F

=

2 3 3

2 5 3

=

5

5

；

（3）设N（m，

3

3

m²+

2 3

3

m-

3

），
∵M（-1，-2

3

），C（0，-

3

），
∴MN²=（m+1）²+（

3

3

m²+

2 3

3

m+

3

）²，NC²=m²+（

3

3

m²+

2 3

3

m）²，MC²=1+3=4，
当MN=NC时，则（m+1）²+（

3

3

m²+

2 3

3

m+

3

）²=m²+（

3

3

m²+

2 3

3

m）²，
解得：m=-1，m=-2，
∴N（-1，-

4 3

3

），N（-2，-

3

），
当MN=MC时，则（m+1）²+（

3

3

m²+

2 3

3

m+

3

）²=4
解得：m=0，m=-2，
∴N（0，-

3

），
∴不存在N点，
当NC=MC时，则m²+（

3

3

m²+

2 3

3

m）²=4，
整理得：m²+2m+3=

m

6

，
解得：m=1，
∴N（1，0），与A重合，构不成三角形；
∴将线段BC绕点C旋转，与抛物线的另一交点为N，若△NCM是等腰三角形，点N的坐标（-1，-

4 3

3

）或（-2，-

3

）．

点评：本题考查了直角三角形的射影定理，待定系数法求解析式，勾股定理的应用等，设出N的坐标求得线段的平方是本题的关键．