Question

若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x₁，x₂，
（1）利用配方法求出求根公式；
（2）用求根公式求证：x₁+x₂=，x₁·x₂=；
（3）设方程x²-7x+3=0有两个实数根x₁，x₂，利用（2）的结论，不解方程求：①x₁²+x₂²；
②。

Answer 1

解：（1）ax²+bx+c=0（a≠0）
∵a≠0，
∴两边同时除以a得：二次项系数化为“1”得：，
移项得：，
配方得：，
，
∵a≠0，
∴4a²＞0，
当b²-4ac≥0时，直接开平方得：，
∴x=，
∴x₁=，x₂=；
 （2）对于方程：ax²+bx+c=0（a≠0，且a，b，c是常数），
当△≥0时，利用求根公式，得x₁=，x₂=，
∵x₁+x₂=，
x₁x₂=，
∴x₁+x₂=，x₁·x₂=是正确的；
（3）方程x²-7x+3=0中，
∵a=，b=-7，c=3，
∴b²-4ac=49-6=43＞0，
则x₁+x₂=，
①x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=14²-2×6=196-12=184；
②。