Question

在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好一四边形ABCD四个顶点都在横格线上；设AB边与直线l的夹角为a．

（1）如图甲所示，四边形ABCD为矩形，若α=36°，求矩形ABCD的长和宽．（精确到1mm）
（2）①如图乙所示，若四边形ABCD为正方形，求tanα的值．
②写出图乙中两个有关P，Q的不同类型结论．（不另添加字母，不必证明）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80tan36°≈0.75）

Answer 1

【答案】分析：（1）作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F，在RT△ABE及RT△AFD中分别利用三角形函数的知识即可得出矩形ABCD的长和宽．
（2）①作BG⊥l于点G，DH⊥l于点H，从而可证明出△AGB≌△DHA，得出AG=DH，再由tanα=即可得出答案．
②根据题意写结论即可，例如可写：P、Q分别是BC、AD的中点，四边形BPDQ是平行四边形．
解答：解：（1）作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F，

由题意可知，BE=24mm，DF=48mm，
∵α+∠DAF=90°，∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠ADF=36°，
在RT△ABE中，AB===40mm，
在RT△ADF中，AD===60mm，
∴AB=40mm，AD=60mm．

（2）①分别过点B、D作BG⊥l于点G，BH⊥l于点H，
∵∠BGA=∠AHD=90°，∠GAB=∠HDA=α，AB=AD，
∴△BGA≌△AHD（AAS），
∴BG=AH，AG=DH，
∴tanα==．
②可写：P、Q分别是BC、AD的中点；四边形BPDQ是平行四边形；RT△ABP≌RT△CDQ．
点评：此题考查了矩形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定及性质，解答本题的关键是正确的作出辅助线，利用三角函数的知识进行解题，难度一般．