Question

8．若a=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$
①求4a²-8a+1的值；
②直接写出代数式的值a³-3a²+a+1=$\sqrt{2}$；2a²-5a+$\frac{1}{a}$+2=4．

Answer 1

分析 ①先化简a，再把a的值代入计算即可；
②根据4a²-8a+1=5，得出a²-2a=2，再把原式化简，从而得出答案．

解答 解：①∵a=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$，
∴a=$\sqrt{2}$+1，
∴4（a²-2a）+1=4（a²-2a+1-1）+1
=4（a-1）²-3
=4（$\sqrt{2}$+1-1）²-3
=5，
②∵4a²-8a+1=5，
∴a²-2a=2，
∴a³-3a²+a+1=a（a²-3a+1）+1
=a（2-a+1）+1
=3a-a²+1
=3a-2a-2+1
=a-1
=$\sqrt{2}$+1-1
=$\sqrt{2}$，
∴2a²-5a+$\frac{1}{a}$+2=2（a²-2a）-a+$\frac{1}{a}$+2
=4-a+$\sqrt{2}$-1+2
=-a+$\sqrt{2}$+5
=-$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{2}$+5
=4，
故答案为$\sqrt{2}$，4．

点评 本题考查了二次根式的化简求值，本题化简a的值以及得出a²-2a=2是解题的关键．