Question

如图，PB为⊙0的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系是______并加以证明．

Answer 1

（1）证明：连接OB，
∵PB与圆O相切，
∴PB⊥OB，即∠OBP=90°，
∵OP⊥AB，
∴D为AB中点，即OP垂直平分AB，
∴PA=PB，
∵在△OAP和△OBP中，
，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴AP⊥OA，
则直线PA为圆O的切线；

（2）EF²=4DO•PO，理由为：
证明：∵∠OAP=∠ADO=90°，∠AOD=∠POA，
∴△OAD∽△OPA，
∴=，即OA²=OD•OP，
∵EF为圆的直径，即EF=2OA，
∴EF²=OD•OP，即EF²=4OD•OP．
故答案为：EF²=4OD•OP
分析：（1）连接OB，由OP垂直于AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，即OP垂直平分AB，可得出AP=BP，再由OA=OB，OP=OP，利用SSS得出三角形AOP与三角形BOP全等，由PB为圆的切线，得到OB垂直于BP，利用全等三角形的对应角相等及垂直的定义得到OA垂直于AP，即PA为圆O的切线；
（2）EF²=4DO•PO，理由为：由一对直角相等，一对公共角，得出三角形AOD与三角形OAP相似，由相似得比例，列出关系式，由OA为EF的一半，等量代换即可得证．
点评：此题考查了切线的判定与性质，相似及全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．