Question

20．如图，AC分别切⊙O于D、E，作OQ⊥BC交⊙O于P，连DP、EP交BC于G、F，AF、AG分别交DG、EF于M、N．求证：OQ⊥MN．

Answer 1

分析 连接OD、OE．首先证明∠CEF=∠CFE，推出CF=CE，同理可证BD=BG，由梅涅劳斯定理可知$\frac{AN}{NG}$•$\frac{GF}{CF}$•$\frac{CE}{AE}$=1，$\frac{AM}{MF}$•$\frac{FG}{BG}$•$\frac{BD}{AD}$=1，又因为AD=AE．CE=CF，BD=BG，推出$\frac{AN}{NG}$=$\frac{AM}{NF}$，推出MN∥BC，由OQ⊥BC，即可推出OQ⊥MN．

解答 证明：连接OD、OE．
∵AB、AC是⊙O的切线，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，∵OQ⊥BC，
∴∠OEC=∠OQC=90°，
∴∠QOE+∠C=180°，
∴∠QOE=180°-∠C，
∵OE=OP，
∴∠OEP=∠OPE=$\frac{180-∠QOE}{2}$=$\frac{1}{2}$∠C，
∴∠FPQ=∠OPE=$\frac{1}{2}$∠C，
∴∠EFC=90°-∠FPQ=90°-$\frac{1}{2}$∠C，
∴∠CEF=180°-∠EFC-∠C=90°-$\frac{1}{2}$∠C，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CF=CE，同理可证BD=BG，
由梅涅劳斯定理可知$\frac{AN}{NG}$•$\frac{GF}{CF}$•$\frac{CE}{AE}$=1，$\frac{AM}{MF}$•$\frac{FG}{BG}$•$\frac{BD}{AD}$=1，
∵AD=AE．CE=CF，BD=BG，
∴$\frac{AN}{NG}$=$\frac{AM}{NF}$，
∴MN∥BC，
∵OQ⊥BC，
∴OQ⊥MN．

点评 本题考查圆综合题，切线的性质、等腰三角形的判定和性质、梅涅劳斯定理等知识，解题的关键是证明CF=CE，BD=BG，本题的突破点是应用由梅涅劳斯定理，推出$\frac{AN}{NG}$=$\frac{AM}{NF}$，推出MN∥BC，属于竞赛题目．