Question

1．如图，已知抛物线y=x²+bx+c的顶点为C，其图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D，且抛物线经过（2，-3）和（-1，0）．
（1）求抛物线的函数表达式及顶点C的坐标．
（2）作点C关于x轴的对称点E，顺次连接A，C，B，E．若在抛物线上存在点F，使直线DF将四边形ACBE分成面积相等的两个四边形，求点F的坐标；
（3）在直线AC下方的抛物线上是否存在点H，使得△HCA的面积最大？若存在，请直接写出点H的坐标及△HCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；
（2）根据平行四边形的判定，可得H是平行四边形对角线的交点，根据平行四边形的性质，可得DH的直线平分平行四边形；根据解方程组，可得答案；
（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得HE的长，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．

解答 解：（1）将（2，-3）、（-1，0）代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{4+2b+c=-3}\\{1-b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
抛物线的函数表达为y=x²-2x-3，
y=（x-1）²-4，即顶点C坐标为（1，-4）

（2）如图1，当x=0时，y=-3，即D点坐标为（0，-3）
当y=0时，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，即A（-1，0），B（3，0），
由题意，得HE=HC，HA=HB，即ACBE是平行四边形，F点坐标为（1，0），
DF的解析式为y=kx+b，将D，F代入函数解析式，得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
DF的解析式为y=3x-3，
联立DF与抛物线，得
$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2x-3}\\{y=3x-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-3}\end{array}\right.$（舍），$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=12}\end{array}\right.$，即F点坐标（5，12）；


（3）如图2，设H点坐标为（m，m²-2m-3）设AC的解析式为y=kx+b，将A，C代入，得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
即AC的解析式为y=-2x-2，
设H点坐标为（m，m²-2m-3），E（m，-2m-2，），
HE=-2m-2-（m²-2m-3）=-m²+1，
S_△HCA=$\frac{1}{2}$AC•（x_C-x_A）=$\frac{1}{2}$（-m²+1）[1-（-1）]=-m²+1，
当m=0时，S_△HCA最大=1，m=0时，m²-2m-3=-3，即H点坐标为（0，-3）．

点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用平行四边形的判定与性质得出过对角线交点的直线平分平行四边形是解题关键；解（3）的关键是利用三角形的面积得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质．