Question

已知：⊙O中弦AB、AC，且∠BAC=60°，E、F分别为

AB

、

AC

中点，连EF交AB、AC于G、H．求证：GH²=GE•HF．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：证明题

分析：连接OE、OF、AE、AF，易证△AEG∽△FAH，可得AH：GE=HF：AG，易证△AGH是等边三角形，可得AG=GH=AH，即可解题．

解答：证明：连接OE、OF、AE、AF，

∵E、F为弧AB、弧AC中点，
∴OE⊥AB，OF⊥AC，
∴弧AE=弧BE，弧AF=弧CF，
∴∠EAB=∠AFE，∠FAC=∠AEF，
∴△AEG∽△FAH，
∴AH：GE=HF：AG，
∴AH•AG=GE•HF，
∵∠BAC=60°，
∴弧BC=60°，
∴弧BAC=240°，
∴弧EAF=弧AE+弧AF=

1

2

弧BAC=120°，
∴∠EOF=120°，
∵OE=OF，
∴∠OEF=∠OEF=30°，
∴∠AHE=∠CHF=90°-∠OFE=60°，
∴△AGH是等边三角形，
∴AG=GH=AH，
∴AH•AG=GH²=GE•HF，

点评：本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质，考查了等边三角形的性质，本题中求证△AEG∽△FAH是解题的关键．