Question

如图，已知△ABC的周长为a，A₁B₁，B₁C₁，A₁C₁是△ABC的三条中位线，它们构成了△A₁B₁C₁，△A₂B₂C₂是由△A₁B₁C₁的三条中位线A₂B₂，B₂C₂，A₂C₂构成的…如此进行下去得到△A_nB_nC_n，则△A₁B₁C₁的周长为

 

，△A₂B₂C₂的周长为

 

，△A₃B₃C₃的周长为

 

，△A_nB_nC_n的周长为

 

．

Answer 1

考点：三角形中位线定理

专题：规律型

分析：根据三角形中位线定理可求得三边的长，从而不难求得△A₁B₁C₁的周长，同理可求得另一三角形的周长，从而可以发现规律．

解答：解：∵A₁B₁，B₁C₁，A₁C₁是△ABC的三条中位线，
∴A₁B₁=

1

2

AB，A₁C₁=

1

2

AC，C₁B₁=

1

2

CB，
∴△A₁B₁C₁的周长=

1

2

（AB+AC+CB）=

1

2

a．
同理：A₂B₂C₂的周长为

1

4

a，△A₃B₃C₃的周长为

1

8

a，△A_nB_nC_n的周长为

1

2n

a．
故答案是：

1

2

a；

1

4

a；

1

8

a；

1

2n

a．

点评：

1

2n

此题主要考查学生对勾股定理及三角形中位线定理的综合运用，关键是通过计算发现存在的规律．