Question

4．如图，某房地产公司要在一块地皮（矩形OBCD）上建造一个公园（矩形GHCK），为了使文物保护区△OEF不被破坏，公园的顶点G不能在文物保护区内．已知OB=200m．OD=160m，OE=60m，OF=40m．当GH多长时，公园的面积最大？最大面积是多少（精确到1m²）？

Answer 1

分析 作辅助线，构建相似三角形，先设MG=xm，公园面积为ym²，根据平行线分线段成比例定理列比例式，表示出DM的长，利用矩形面积公式=长×宽列等式，得出二次函数关系式，求最值即可．

解答 解：延长HG交OD于M，
设MG=xm，公园面积为ym²，则GH=（200-x）m，
∵GH∥OB，
∴MG∥OB，
∴$\frac{MG}{OE}=\frac{FM}{OF}$，
∴$\frac{x}{60}=\frac{FM}{40}$，
∴FM=$\frac{2}{3}$x，
∴OM=40-$\frac{2}{3}$x，
∴DM=OD-OM=160-（40-$\frac{2}{3}$x）=$\frac{2}{3}$x+120，
∴y=GH•DM=（200-x）（$\frac{2}{3}$x+120）=-$\frac{2}{3}{x}^{2}$+$\frac{40}{3}$x+24000，
因为-$\frac{2}{3}$＜0，所以当x=-$\frac{\frac{40}{3}}{2×（-\frac{2}{3}）}$=10时，y有最大值，即GH=200-10=190，
y_最大值=（200-10）（$\frac{2}{3}$×10+120）=$\frac{72200}{3}$≈24067，
答：当GH为190m时，公园的面积最大，最大面积是24067m²．

点评 本题是二次函数的应用，属于图形面积问题；恰当地设出自变量与函数，找出等量关系式是做好本题的关键；将最大面积问题转化为二次函数的最值问题，同时要注意实际问题中的取值范围．