题目内容

已知m，n为整数，方程 $数学公式$ 有两个不相等的实数根，方程 $数学公式$ 有两个相等的实数根．求n的最小值，并说明理由．

解：∵ $\text{[math]}$ 有意义，
∴n-1≥0，即n≥1，
而n为整数，所以n≥1的整数．
又∵方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即△=（n-2）²（n-1）-4（m+18）＞0①；
又方程 $\text{[math]}$ 有两个相等的实数根，
∴△′=0，即△′=（n-6）²（n-1）-4（m-37）=0②，
①-②整理得：2n²-10n-47＞0，
令2n²-10n-47=0，
解得n₁= $\text{[math]}$ ，n₂= $\text{[math]}$ ，
∴n＜ $\text{[math]}$ 或n＞ $\text{[math]}$ ，
而n≥1的整数，
所以n＞ $\text{[math]}$ 的整数．
则n的最小整数为8，并且（8-6）²（8-1）-4（m-37）=0，
解得m=42，为整数满足条件．
所以n的最小整数为8．
分析：因为 $\text{[math]}$ 有意义，则n-1≥0，再根据方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实数根，则△＞0，即△=（n-2）²（n-1）-4（m+18）＞0①；又方程 $\text{[math]}$ 有两个相等的实数根，则△′=0，即△′=（n-6）²（n-1）-4（m-37）=0②，然后①-②，得到关于n的不等式，解之得到n的取值范围，最后找到n的最小值．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了运用二次函数图象解一元二次方程的方法．