题目内容

设动直线通过第一象限与x轴的交点为（x，0），与y轴的交点为（0，y），如果x+y=m（m为大于零的常数），以坐标原点为圆心的圆O外切于直线AB，则⊙O半径R的最大值为________．

$\text{[math]}$
分析：本题要求⊙O半径R的最大值，实际上是求动直线与坐标轴围成的△ABO的面积最大时的⊙O的半径的大小，于是问题转化为求△ABO的面积的最大问题了，可用二次函数求解最值问题．
解答：设△ABO的面积为S，
∴S= $\text{[math]}$ x（m-x）=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ mx，
当x= $\text{[math]}$ 时，S有最大值，
S_最大= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
此时 $\text{[math]}$ R× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得R= $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了一次函数的综合应用及二次函数的性质；求出三角形的最大面积是正确解答本题的关键．