Question

7．如图所示，已知两条直线l₁：y=2x+7，l₂：y=2x+5，在l₂上任取一点A，过点A作直线l₁的垂线，垂足为B点，求AB的长．

Answer 1

分析 直线l₁与y轴交于点B，直线l₂与y轴交于点D，与x轴交于点C，作AB⊥l₁交l₂于A点，如图，先利用坐标轴上点的坐标特征得到C（-$\frac{5}{2}$，0）、B（0，7）、D（0，5），则BD=2，在Rt△OCD中利用勾股定理计算出CD=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，再证明Rt△ABD∽RtODC，然后利用相似比可计算出AB．

解答 解：直线l₁与y轴交于点B，直线l₂与y轴交于点D，与x轴交于点C，作AB⊥l₁交l₂于A点，如图，
当y=0时，2x+5=0，解得x=-$\frac{5}{2}$，则C（-$\frac{5}{2}$，0）；
当x=0时，y=2x+7=7，则B（0，7）；
当x=0时，y=2x+5=5，则D（0，5），
所以BD=7-5=2，
在Rt△OCD中，∵OD=5，OC=$\frac{5}{2}$，
∴CD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
∵∠ADB=∠ODC，
∴Rt△ABD∽RtODC，
∴$\frac{AB}{OC}$=$\frac{BD}{CD}$，即$\frac{AB}{\frac{5}{2}}$=$\frac{2}{\frac{5\sqrt{5}}{2}}$，
∴AB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了两条直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同．也考查了相似三角形的判定与性质．