Question

11．如图，在△AOB内有一定点P，OP=3，∠AOB=45°，点M，N分别为AO，BO上的点，那么△PMN的周长的最小值是3$\sqrt{2}$，此时，∠MPN的度数是90°．

Answer 1

分析 设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小，根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．

解答 解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=3，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=90°，
∴△COD是等腰直角三角形，
∴CD=$\sqrt{O{C}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{2×{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3$\sqrt{2}$．
∵△COD是等腰直角三角形，
∴∠OCM=∠ODN=45°，
∴∠OPM=∠OPN=45°，
∴∠MPN=90°．
故答案为3$\sqrt{2}$；90°．

点评 此题主要考查轴对称--最短路线问题，综合运用了等腰直角三角形的知识．