Question

在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于E，交直线DC于F．

（1）在图1中证明CE=CF；

（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），讨论线段DG与BD的数量关系．

Answer 1

（1）证明：如图1，

∵AF平分∠BAD，

∴∠BAF=∠DAF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，

∴∠CEF=∠F．

∴CE=CF．

（2）解：如图2，

连接GC、BG，

∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，

∴四边形ABCD为矩形，

∵AF平分∠BAD，

∴∠DAF=∠BAF=45°，

∵∠DCB=90°，DF∥AB，

∴∠DFA=45°，∠ECF=90°

∴△ECF为等腰直角三角形，

∵G为EF中点，

∴EG=CG=FG，CG⊥EF，

∵△ABE为等腰直角三角形，AB=DC，

∴BE=DC，

∵∠CEF=∠GCF=45°，

∴∠BEG=∠DCG=135°

在△BEG与△DCG中，

，

∴△BEG≌△DCG（SAS），

∴BG=DG，

∵CG⊥EF，

∴∠DGC+∠DGA=90°，

又∵∠DGC=∠BGA，

∴∠BGE+∠DGE=90°，

∴△DGB为等腰直角三角形，

∴BD=DG．