Question

如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作⊙O，交DC于D，G两点，AD分别于EF，GF交于I，H两点．

（1）求∠FDE的度数；

（2）试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；

（3）当G为线段DC的中点时，

①求证：FD=FI；

②设AC=2m，BD=2n，求⊙O的面积与菱形ABCD的面积之比．

 

Answer 1

解：（1）∵EF是⊙O的直径，∴∠FDE=90°；

（2）四边形FACD是平行四边形．

理由如下：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，AC⊥BD，

∴∠AEB=90°．

又∵∠FDE=90°，

∴∠AEB=∠FDE，

∴AC∥DF，

∴四边形FACD是平行四边形；

（3）①连接GE，如图．

∵四边形ABCD是菱形，∴点E为AC中点．

∵G为线段DC的中点，∴GE∥DA，

∴∠FHI=∠FGE．

∵EF是⊙O的直径，∴∠FGE=90°，

∴∠FHI=90°．

∵∠DEC=∠AEB=90°，G为线段DC的中点，

∴DG=GE，

∴=，

∴∠1=∠2．

∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，

∴∠3=∠4，

∴FD=FI；

②∵AC∥DF，∴∠3=∠6．

∵∠4=∠5，∠3=∠4，

∴∠5=∠6，∴EI=EA．

∵四边形ABCD是菱形，四边形FACD是平行四边形，

∴DE=BD=n，AE=AC=m，FD=AC=2m，

∴EF=FI+IE=FD+AE=3m．

在Rt△EDF中，根据勾股定理可得：

n²+（2m）²=（3m）²，

即n=m，

∴S_⊙O=π（）2=πm²，S_菱形ABCD=•2m•2n=2mn=2m²，

∴S_⊙O：S_菱形ABCD=．