Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，G是弧AC上任意一点，连接CG，DG，AC．
（1）求证：∠DGC=2∠BAC；
（2）∠A=30°，AB=4，求出弧CD的长．

Answer 1

分析：（1）由AB是⊙O的直径，CD⊥AB，根据垂径定理的即可求得

BC

=

BD

=

1

2

CD

，由圆周角定理易证得：∠DGC=2∠BAC；
（2）由∠A=30°，可求得∠DOC的度数，又由AB=4，可求得半径的长，然后由弧长公式，即可求得弧CD的长．

解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴

BC

=

BD

=

1

2

CD

，
∴∠BOC=

1

2

∠DOC，
∵∠BAC=

1

2

∠BOC，∠DGC=

1

2

∠DOC，
∴∠DGC=2∠BAC；

（2）解：∵AB=4，
∴⊙O的半径为2，
∵∠A=30°，
∴∠COD=2∠DGC=4∠A=120°，
∴l=

120×π×2

180

=

4

3

π．

点评：此题考查了垂径定理、圆周角定理以及弧长公式．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．