Question

已知四边形ABCD两条对角线互相垂直，点O是对角线的交点，∠ACD=60°，∠ABD=45°，点A到CD的距离是6，点D到AB的距离是8，求四边形ABCD的面积S．

Answer 1

分析：过点A作CD的垂线，过点D作AB的垂线，取AC的中点G，连接EG，证出等边△CGE和等腰直角△BFD，根据勾股定理求出AC和DB的长度，利用面积公式即可求出四边形ABCD的面积．

解答：解：过点A作CD的垂线，E是垂足，过点D作AB的垂线，F是垂足，取AC的中点G，连接EG，
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，
∴CG=GE，
又∵∠ACD=60°，
∴△GCE是等边三角形，
∴CE=CG=

1

2

AC，
由勾股定理，得AC²=CE²+AE²，
∴AC2=(

1

2

AC)2+62，
解得：AC=4

3

，
∵∠DFB=90°，∠ABD=45°，
∴∠FBD=∠FDB
∴△FBD是等腰直角三角形，
∴BD=

2

DF=8

2

．
∴四边形ABCD的面积S=S_△ABD+S_△BCD，
=

1

2

BD•AO+

1

2

BD•CO，
=

1

2

BD(AO+CO)=

1

2

BD•AC，
=

1

2

×8

2

×4

3

=16

6

．
答：四边形ABCD的面积S是16

6

．

点评：本题主要考查了面积与等积变换，等边三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形等知识点，正确作辅助线求出AC和BD的长是解此题的关键．