Question

5．如图，已知二次函数y=x²+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，-1），点C（0，-4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴与点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．
（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；
（2）若将该二次函数图象向上平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包含△ABC的边界），求m的取值范围；
（3）点P时直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．

Answer 1

分析 （1）把A、C两点的坐标代入抛物线的解析式可求b、c的值，然后利用配方法可求得点M的坐标；
（2）先求得直线AC的解析式，然后再求得抛物线的对称轴，设直线x=1与△ABC的两边分别交于点E与点F，然后求得点E和点F的坐标，然后依据平移后抛物线的顶点在△BAC的内部列不等式组求解即可；
（3）先证明∠PCM为直角，然后分为△MPC∽△CBD、BDC∽△MCP，两种情况求得PC的长，然后再求得点P的坐标即可．

解答 解：（1）把A、C两点的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{9+3b+3=-1}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-4}\end{array}\right.$．
∴二次函数的解析式为y=x²-2x-4．
配方得：y=（x-1）²-5．
∴点M的坐标为（1，-5）．

（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，把点A、C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=-1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=x-4．
抛物线的对称轴方程为x=-$\frac{b}{2a}$=1．

如图1所示，直线x=1与△ABC的两边分别交于点E与点F，则点F的坐标为（1，-1）．
将x=1代入直线y=x-4得：y=-3．
∴E（1，-3）．
∵抛物线向上平移m个单位长度时，抛物线的顶点在△BAC的内部，
∴-3＜-5+m＜-1．
∴2＜m＜4．

（3）如图2所示：

把y=-1代入抛物线的解析式得：x²-2x-4=-1，解得x=-1或x=3，
∴B（-1，-1）．
∴BD=1．
∵AB∥x轴，A（4，-1），
∴D（0，-1）
∴AD=DC=3．
∴∠DCA=45°．
过点M作ME⊥y轴，垂足为E．
∵C（0，-4），M（1，-5）．
∴CE=ME=1．
∴∠ECM=45°，MC=$\sqrt{2}$．
∴∠ACM=90°．
∴∠PCM=∠CDB=90°．
①当△MPC∽△CBD时，$\frac{PC}{BD}=\frac{DC}{CM}$，即$\frac{PC}{1}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，解得PC=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴CF=PF=sin45°•PC=$\frac{\sqrt{2}}{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{3}$．
∴P（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{13}{3}$）．
如图3所示：点P在点C的右侧时，过点P作PF⊥y轴，垂足为F．

∵CP=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，∠FCP=45°，∠CFP=90°，
∴CF=FP=$\frac{\sqrt{2}}{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{3}$．
∴P（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{11}{3}$）．
②当BDC∽△MCP时，$\frac{PC}{CM}$=$\frac{DC}{BD}$，即$\frac{PC}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{1}$，解得PC=3$\sqrt{2}$．
如图4所示：当点P在AC的延长线上时，过点作PE⊥y轴，垂足为E．

∵PC=3$\sqrt{2}$，∠PCE=45°，∠PEC=90°，
∴CE=PE=3$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=3．
∴P（-3，-7）．
如图5所示：当点P在AC上时，过点P作PE⊥y轴，垂足为E．

∵PC=3$\sqrt{2}$，∠PCE=45°，∠PEC=90°，
∴CE=PE=3$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=3．
∴P（3，-1）．
综上所述，点P的坐标为（-3，-7）或（3，-1）或（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{13}{3}$）或（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{11}{3}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、平移与坐标变化、相似三角形的性质，依据题意画出符合题意的图形是解题的关键．