Question

如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东36.5°方向上，距离5千米处是村庄M；在点A北偏东53.5°方向上，距离10千米处是村庄N（参考数据：sin36.5°＝0.6，cos36.5°＝0.8，tan36.5°＝0.75）.

（1）求M，N两村之间的距离；

（2）要在公路AB旁修建一个土特产收购站P，使得M，N两村到P站的距离之和最短，求这个最短距离。

Answer 1

解:(1)如图,过点M作CD∥AB,NE⊥AB.                         ……………1′

         在Rt△ACM中，∠CAM=36.5°，AM=5，

         ∴sin36.5°＝ ＝0.6，

        ∴CM＝3，AC＝4.                                      ……………2′

         在Rt△ANE中, ∠NAE=90°－53.5°=36.5°，AN=10，

         ∴sin36.5°＝ ＝0.6

∴NE＝6，AE＝8.                                      ……………3′

在Rt△MND中,MD＝5，ND＝2.

∴MN＝ ＝ (km)                          ……………4′

        (2)作点N关于AB的对称点G，连接MG交AB于点P.

         点P即为站点.                                        ……………5′

         ∴PM＋PN＝PM＋PG＝MG.                                ……………6′

         在Rt△MDG中,MG＝＝＝(km)         ……………7′

         ∴最短距离为 km                                   ……………8′