题目内容
如图，函数L1：y=a（x-2）2+4（x＞0）的图象顶点为M，过点B（4，0），将图象绕原点旋转180°后得到函数L2的图象，顶点为N，与x轴交于点A．（1）分别求出L1、L2的函数解析式；
（2）P为抛物线L1上一动点，连接PO交L2于Q，连接PN、QN、PM、QM．求：平行四边形PMQN的面积S与P点横坐标x（0＜x≤4）间关系式；
（3）求出平行四边形PMQN的面积S的最大值，及此时P点的坐标．
【答案】分析：（1）因为函数L1过点B，所以把点B的坐标代入到L1的解析式中求出a的值即可得到函数L1的解析式；由图象绕原点旋转180°可知函数L1和函数L2关于原点对称，根据对称的特点即可得到函数L2的解析式．
（2）由对称性可知四边形PNQM为平行四边形，根据平行四边形的特点可知平行四边形的面积等于三角形POM面积的4倍，分别过M和P作x轴的垂线，交x轴分别为C和D点，然后利用梯形MPDC的面积加上三角形MOC的面积减去三角形POD的面积即可表示出三角形POM的面积，即可得到S与x的关系式；同理，可用梯形PDCM的面积加上三角形OPD的面积减去三角形OMC的面积即可表示出三角形OPM的面积，即可得到S与x的关系式；
（3）当2＜x≤4时，y随x的增大而增大，把x代入到（2）求出的S与x的关系式中即可求出S的最大值；又0＜x＜2时，y随x的增大而减小，把x=1代入到S与x的关系式中即可求出S的最大值，两个最大值比较即可得到最大，然后根据此时的x的值即可得到P的坐标．
解答：解：（1）把B（4，0）代入y=a（x-2）2+4得：a=-1，
则抛物线L1：y=-x2+4x，抛物线L2：y=x2+4x；
（2）根据P点位置进行分类讨论：
（i）若P点在抛物线的BM段（2＜x≤4）时，S△POM=
+
-
=x2-2x，
则S平行四边形PMQN=4S△POM=4x2-8x；
（ii）若P点在抛物线的OM段（0＜x＜2）时，S△POM=
+
-
=-x2+2x，
则S平行四边形PMQN=4S△POM=-4x2+8x；
（3）当2＜x≤4时，y随x的增大而增大，当x=4时，S最大=32，
当0＜x＜2时，y随x的增大而减小，当x=1时，S最大=4，
∴当x=4时，S最大=32，此时P点坐标为（4，0）．
点评：此题考查学生会利用待定系数法求函数的解析式，考查了分类讨论的数学思想，掌握二次函数的增减性，是一道综合题．
（2）由对称性可知四边形PNQM为平行四边形，根据平行四边形的特点可知平行四边形的面积等于三角形POM面积的4倍，分别过M和P作x轴的垂线，交x轴分别为C和D点，然后利用梯形MPDC的面积加上三角形MOC的面积减去三角形POD的面积即可表示出三角形POM的面积，即可得到S与x的关系式；同理，可用梯形PDCM的面积加上三角形OPD的面积减去三角形OMC的面积即可表示出三角形OPM的面积，即可得到S与x的关系式；
（3）当2＜x≤4时，y随x的增大而增大，把x代入到（2）求出的S与x的关系式中即可求出S的最大值；又0＜x＜2时，y随x的增大而减小，把x=1代入到S与x的关系式中即可求出S的最大值，两个最大值比较即可得到最大，然后根据此时的x的值即可得到P的坐标．
解答：解：（1）把B（4，0）代入y=a（x-2）2+4得：a=-1，
则抛物线L1：y=-x2+4x，抛物线L2：y=x2+4x；
（2）根据P点位置进行分类讨论：
（i）若P点在抛物线的BM段（2＜x≤4）时，S△POM=
+-=x2-2x，则S平行四边形PMQN=4S△POM=4x2-8x；
（ii）若P点在抛物线的OM段（0＜x＜2）时，S△POM=
+-=-x2+2x，则S平行四边形PMQN=4S△POM=-4x2+8x；
（3）当2＜x≤4时，y随x的增大而增大，当x=4时，S最大=32，
当0＜x＜2时，y随x的增大而减小，当x=1时，S最大=4，
∴当x=4时，S最大=32，此时P点坐标为（4，0）．
点评：此题考查学生会利用待定系数法求函数的解析式，考查了分类讨论的数学思想，掌握二次函数的增减性，是一道综合题．
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