Question

2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，PE、PF分别交AB、AC于点E、F．给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S_{四边形AEPF}=S_△ABC；④EF=AP．上述结论正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①在△APE和△CPF中，根据∠APE=∠CPF，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，证明APE≌△CPF（ASA），可知①正确；
②根据①可得△EFP是等腰直角三角形，故②正确；
③根据全等三角形面积相等得：S_△APE=S_△CPF，利用割补法得：S_{四边形AEPF}=S_△APC=$\frac{1}{2}$S_△ABC，故③错误；
④EF随着点E的变化而变化，只有当点E为AB的中点时，EF=$\sqrt{2}$PE=AP，在其它位置时EF≠AP，故④错误；

解答 解：①∵AB=AC，P是BC的中点，∠BAC=90°，
∴AP⊥BC，AP=$\frac{1}{2}$BC=PC，
∴∠CPF+∠APF=90°，∠BAP=∠C=45°，
∵∠EPF=90°，
∴∠APE+∠APF=90°，
∴∠APE=∠CPF，
在△APE和△CPF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠APE=∠CPF}\\{AP=PC}\\{∠EAP=∠C}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE=CF，
故①正确；
②∵△APE≌△CPF
∴EP=FP
∴△EFP是等腰直角三角形，
故②正确；
③∵△APE≌△CPF，
∴S_△APE=S_△CPF，
∴S_{四边形AEPF}=S_△APF+S_△APE=S_△APF+S_△CPF=S_△APC=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
故③错误；
④由等腰直角三角形的性质，EF=$\sqrt{2}$PE，
所以，EF随着点E的变化而变化，只有当点E为AB的中点时，EF=$\sqrt{2}$PE=AP，在其它位置时EF≠AP，
故④错误；
综上所述，正确的结论有：①②共2个．
故选B．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定，熟练掌握三角形全等的性质和判定是关键，本题也可以看作是△APE绕点P顺时针旋转90°得到△CPF．