Question

11．如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点P为第一象限抛物线上一点，且∠DAP=45°，求点P的坐标．

Answer 1

分析 如图所示构造△AKD全等△DNM，先求得点A和点D的坐标，从而可求得点M的坐标，最后求得直线AM的坐标即可．

解答 解：如图所示：构造△AKD≌△DNM，连接AM．

将y=0代入抛物线的解析式得：-x²+2x+3=0．
解得：x₁=3，x₂=-1．
∴点A的坐标为（-1，0）．
∴点D的横坐标为1．
将x=1代入抛物线的解析式得y=4．
∴AK=4，KD=2，∴DN=4，NM=2．
∴点M的坐标为（5，2）．
设直线AM的解析式y=kx+b．将点A、点M的解析式代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{5k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$．
∴直线AM的解析式为y=$\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}$．
将y=$\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}$与y=-x²+2x+3联立．
解得：x=$\frac{8}{3}$，y=$\frac{11}{9}$或x=-1，y=0（舍去）．
∴点P的坐标为（$\frac{8}{3}$，$\frac{11}{9}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，一次函数的图象和性质、解二元二次方程组，构造△AKD≌△DNM是解题的关键．