Question

6．如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，且AB∥MN，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E，若M是AD边上距D点最近的n等分点（n≥2，且n为整数），则A′N=$\frac{\sqrt{2n-1}}{n}$．

Answer 1

分析 根据翻折变换的性质可得A′B=AB，再根据点M的位置求出BN，然后利用勾股定理列式计算即可得解．

解答 解：∵将纸片的一角沿过点B的直线折叠，A落在MN上，落点记为A′，
∴A′B=AB=1，
∵AB∥MN，M是AD边上距D点最近的n等分点，
∴MD=NC=$\frac{1}{n}$，
∴BN=BC-NC=1-$\frac{1}{n}$=$\frac{n-1}{n}$，
在Rt△A′BN中，根据勾股定理得，A′N²=A′B²-BN²=1²-（$\frac{n-1}{n}$）²=$\frac{2n-1}{{n}^{2}}$，
所以，A′N=$\sqrt{\frac{2n-1}{{n}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2n-1}}{n}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2n-1}}{n}$．

点评 本题考查了翻折变换的性质，正方形的性质，勾股定理，主要利用了翻折前后对应边相等．