(1)如图1.点A.B在∠MQN的边QM上.过A.B两点的圆交QN于点C.D．①点E在线段CD上.点F在射线DN上．试证明∠AEB＞∠AFB,②点P从Q点出发沿射线QN方向运动.你能发现在这个运动过程中∠APB的大小是如何变化的?∠APB的度数能取到最大值吗?如果能.说出点P的位置,(2)如图2.点A与点B的坐标分别是.当点P在y轴上移动时.∠APB是否有最大值?若有.请直接写� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．（1）如图1，点A，B在∠MQN的边QM上，过A，B两点的圆交QN于点C，D．
①点E在线段CD上（异于点C，D），点F在射线DN上（与点D不重合）．试证明∠AEB＞∠AFB；
②点P从Q点出发沿射线QN方向运动，你能发现在这个运动过程中∠APB的大小是如何变化的？∠APB的度数能取到最大值吗？如果能，说出点P的位置；
（2）如图2，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，请直接写出点P的坐标；若没有请说明理由．

分析（1）①延长AE交圆于点H，连接BH，AD，BD，利用三角形外角性质定理以及圆周角定理即可证明∠AEB＞∠AFB；
②∠APB的度数先由小变大，然后由大变小；∠APB的度数能取到最大值，当点P是过A，B两点的圆与QN相切的切点时即可取得；
（2）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要∠APB最大，只需构造过点A、点B且与y轴相切的圆，切点就是使得∠APB最大的点P，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题．

解答（1）证明：
①延长AE交圆于点H，连接BH，AD，BD．
∵∠AHB=∠ADB，
而∠AEB＞∠AHB，
∴∠AEB＞∠ADB，
同理：∠ADB＞∠AFB，
∴∠AEB＞∠AFB．
②∠APB的度数先由小变大，然后由大变小；∠APB的度数能取到最大值；
当点P是过A，B两点的圆与QN相切的切点时，∠APB的度数取得最大值；
（2）当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB最大．
理由：可证：∠APB=∠AEH，当∠APB最大时，∠AEH最大．由sin∠AEH=$\frac{2}{AE}$得：当AE最小即PE最小时，∠AEH最大．所以当圆与y轴相切时，∠APB最大．
①当点P在y轴的正半轴上时，
连接EA，作EH⊥x轴，垂足为H，如图2．
∵⊙E与y轴相切于点P，
∴PE⊥OP．
∵EH⊥AB，OP⊥OH，
∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°．
∴四边形OPEH是矩形．
∴OP=EH，PE=OH=3．
∴EA=3．
∵∠EHA=90°，AH=2，EA=3，
∴EH=$\sqrt{E{A}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{5}$
∴OP=$\sqrt{5}$
∴P（0，$\sqrt{5}$）．
②当点P在y轴的负半轴上时，
同理可得：P（0，-$\sqrt{5}$）．
理由：
①若点P在y轴的正半轴上，
在y轴的正半轴上任取一点M（不与点P重合），
连接MA，MB，交⊙E于点N，连接NA，如图2所示．
∵∠ANB是△AMN的外角，
∴∠ANB＞∠AMB．
∵∠APB=∠ANB，
∴∠APB＞∠AMB．
②若点P在y轴的负半轴上，
同理可证得：∠APB＞∠AMB．
综上所述：当点P在y轴上移动时，∠APB有最大值，
此时点P的坐标为（0，$\sqrt{5}$）和（0，-$\sqrt{5}$）．