Question

如图，AB为⊙O的直径，OD⊥AC于D，AC交⊙O于点E，D为AC上一点，∠AOD=∠C．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若AB=10，OD=3，求弦AE的长．

Answer 1

考点：切线的判定,勾股定理

专题：证明题

分析：（1）由OD⊥AC得到∠AOD+∠A=90°，而∠AOD=∠C，则∠A+∠C=90°，所以∠ABC=90°，然后根据切线的判定定理即可得到BC是⊙O的切线；
（2）根据垂径定理由OD⊥AE得到AD=ED，再在Rt△AOD中利用勾股定理计算出AD=4，于是得到AE=2AD=8．

解答：（1）证明：∵OD⊥AC，
∴∠ADO=90°，
∴∠AOD+∠A=90°，
又∵∠AOD=∠C，
∴∠A+∠C=90°，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵OD⊥AE，
∴AD=ED，
在Rt△AOD中，OA=

1

2

AB=5，OD=3，
∴AD=

OA2-OD2

=4，
∴AE=2AD=8．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理和勾股定理．