Question

18．已知：△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC和AC上，并且CD=AE，连接AD、BE相交于点N，过点B作BM⊥AD于点M．
（1）求证：BE=AD；
（2）若NE=1.6，MN=2，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质可得，AB=AC，∠BAE=∠C，然后利用SAS即可证得；
（2）根据全等三角形的性质，以及三角形的外角的性质求得∠BNM=60°，然后根据直角三角形的性质求得BN的长，则AB即可求得，根据AD=BE即可求得．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°．
在△ABE和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CA}\\{∠BAE=∠ACD}\\{AE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
（2）解：∵△ABE≌△CAD，
∴BE=AD，∠ABE=∠CAD，
∴∠BNM=∠BAN+∠ABN=∠BAN+∠CAD=60°．
∵BM⊥AD，即∠AMB=90°，
∴∠NBM=30°，
∴BN=2MN=4，
∴AD=BE=BN+NE=4+1.6=5.6．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，证明∠BNM=60°，求得BN的长是关键．