Question

20．连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，如图（1），AC、AD是五边形ABCDE的对角线．思考下列问题：
（1）如图（2），n边形A₁A₂A₃A₄…A_n中，过顶点A ₁可以画（n-3）条对角线，它们分别是A₁A_n-1（n＞3）；
过顶点A₂可以画（n-3）条对角线，过顶点A ₃可以画（n-3）条对角线．
（2）过顶点A₁的对角线与过顶点A₂的对角线有相同的吗？过顶点A₁的对角线与过顶点A₃的对角线有相同的吗？
（3）在此基础上，你能发现n边形的对角线条数的规律吗？

Answer 1

分析 （1）过点A₁和任意不相邻的两点连接可得出到一条对角线；同理可得过点A₂、A₃的情况．
（2）过点A₁的和过点A₂的没有重复的，但和过点A₃的有重复的（A₁A₃和A₃A₁重复）；
（3）过每一点有（n-3）条对角线，除去重复的即可得出总对角线的条数．

解答 解：（1）过顶点A₁可以画（n-3）条对角线，它们分别是A₁A_n-1（n＞3）；过顶点A₂可以画（n-3）条对角线，过顶点A₃可以画（n-3）条对角线；
（2）过点A₁的和过点A₂的没有重复的，但和过点A₃的有重复的（A₁A₃和A₃A₁重复）；
（3）n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n-3）条，
共有n个顶点，应为n（n-3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2．
即n边形的对角线条数的为$\frac{n（n-3）}{2}$．
故答案为：（n-3），A₁A_n-1（n＞3），（n-3），（n-3）．

点评 此题考查了多边形的对角线的知识，属于基础题，关键是熟练掌握一些基本知识．