题目内容
12．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，连接BD，将△ABD绕B点作顺时针方向旋转得到△A′B′D′（B′与B重合），且点D′刚好落在BC的延长上，A′D′与CD相交于点E．（1）求矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分（如图1中阴影部分A′B′CE）的面积；
（2）将△A′B′D′以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移，如图2，当B′移动到C点时停止移动．设矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分的面积为y，移动的时间为x，请你直接写出y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x，使得△AA′B′成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x的值，若不存在，请你说明理由．
分析 （1）根据旋转的性质可知B′D′=BD=10，CD′=B′D′-BC=2，由tan∠B′D′A′=$\frac{A′B′}{A′D′}=\frac{CE}{CD′}$，可求出CE，即可计算△CED′的面积，S A′B′CE=S A′B′D′-S CED′；
（2）分类讨论，当0≤x≤$\frac{16}{5}$时和当$\frac{16}{5}$＜x≤4时，分别列出函数表达式；
（3）分类讨论，当AB′=A′B′时；当AA′=A′B′时；当AB′=AA′时，根据勾股定理列方程即可．
解答 解：（1）∵AB=6cm，AD=8cm，
∴BD=10cm，
根据旋转的性质可知B′D′=BD=10cm，CD′=B′D′-BC=2cm，
∵tan∠B′D′A′=$\frac{A′B′}{A′D′}=\frac{CE}{CD′}$，
∴$\frac{6}{8}=\frac{CE}{2}$，
∴CE=$\frac{3}{2}$cm，
∴S A′B′CE=S A′B′D′-S CED′=$\frac{8×6}{2}-2×\frac{3}{2}÷2=\frac{45}{2}$（cm2）；
（2）①当0≤x＜$\frac{16}{5}$时，CD′=2x+2，CE=$\frac{3}{2}$x，
∴S△CD′E=$\frac{3}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x，
∴y=$\frac{1}{2}$×6×8-$\frac{3}{2}$x2=-$\frac{3}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x+24；
②当$\frac{16}{5}$≤x≤4时，BC=10-2x，CE=$\frac{4}{3}$（10-2x）
∴y=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$（10-2x）2
=$\frac{8}{3}$x2-$\frac{80}{3}$x+$\frac{200}{3}$．
（3）①如图1，当AB′=A′B′时，x=0秒；
②如图2，当AA′=A′B′时，A′N=BM=BB′+B′M=2x+$\frac{18}{5}$，A′M=NB=$\frac{24}{5}$，
∵AN2+A′N2=36，
∴（6-$\frac{24}{5}$）2+（2x+$\frac{18}{5}$）2=36，
解得：x=$\frac{{6\sqrt{6}-9}}{5}$秒，（x=$\frac{{-6\sqrt{6}-9}}{5}$舍去）；
③如图2，当AB′=AA′时，A′N=BM=BB′+B′M=2x+$\frac{18}{5}$，A′M=NB=$\frac{24}{5}$，
∵AB2+BB′2=AN2+A′N2
∴36+4x2=（6-$\frac{24}{5}$）2+（2x+$\frac{18}{5}$）2
解得：x=$\frac{3}{2}$秒．
综上所述，使得△AA′B′成为等腰三角形的x的值有：0秒、$\frac{3}{2}$秒、$\frac{{6\sqrt{6}-9}}{5}$．
点评 本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键．
如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点（点C不与点A，B重合），AB=4．设弦AC的长为x，△ABC的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
如图是以正八边形为“基本单位”铺成的图案的一部分，（其中有4×3个“基本单位”），其间存有若干个小正方形空隙，以及图案的4个角处有更小的三角形空隙，若密铺5×4个“基本单位”的图案，并填满空隙，则需要12个小正方形，14小三角形．（不含图案的4个角）