Question

1．如图，△ABC和△DCE中，BC=kAC，CE=kCD，∠ACB=∠DCE=α，连接AD、BE．

（1）如图1，α=90°，k=1，直接写出AD与BE的关系：AD=BE；
（2）如图2，α=90°，k≠1时，上述关系是否成立？说明理由．
（3）如图3，α＞90°，k≠1时，（1）中关系是否成立？如果成立，请加以证明；若不成立，AD与BE关系又怎样？请加以证明．

Answer 1

分析 （1）根据同角的余角相等得到∠ACD=∠BCE，根据全等三角形的判定得到△ACD≌△BCE，得到AD=BE；
（2）根据BC=kAC，CE=kCD，得到$\frac{BC}{AC}$=$\frac{CE}{CD}$，得到△ACD∽△BCE，根据相似三角形的性质得到BE=kAD；
（3）根据∠ACB=∠DCE=α，得到∠ACD=∠BCE，得到△ACD∽△BCE，根据相似三角形的性质得到BE=kAD．

解答 解：（1）∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，∠ECB+∠DCB=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE；
（2）∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，∠ECB+∠DCB=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
∵BC=kAC，CE=kCD，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{CE}{CD}$，
∴△ACD∽△BCE，
∴$\frac{BE}{AD}$=k，即BE=kAD；
（3）∵∠ACB=∠DCE=α，
∴∠ACD+∠DCB=α，∠ECB+∠DCB=α，
∴∠ACD=∠BCE，
∵BC=kAC，CE=kCD，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{CE}{CD}$，
∴△ACD∽△BCE，
∴$\frac{BE}{AD}$=k，即BE=kAD．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握判定定理和性质定理是解题的关键．